Pré-calcul Exemples

$\sqrt{2 x + 6}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{2 y + 6}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2 y + 6} = x$ .

$\sqrt{2 y + 6} = x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 y + 6}}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y + 6}$ comme ${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y + 6)}^{1} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$2 y + 6 = x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = x^{2} - 6$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 y = x^{2} - 6$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = x^{2} - 6$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Divisez $- 6$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 3$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(\sqrt{2 x + 6})}^{2}}{2} - 3$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 6$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x) + 6}}^{2}}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 x + 2 \cdot 3}}^{2}}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}$ comme $2 (x + 3)$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (x + 3)}$ comme ${(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{({(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 6}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 6$ .

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Étape 4.2.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x) + 6}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

Étape 4.2.3.1.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Étape 4.2.3.2.2

Divisez $x + 3$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 3 - 3$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{2} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6}$

Étape 4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3 + 3)}$

Étape 4.3.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $\frac{x^{2}}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Étape 4.3.5

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Étape 4.3.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.6.1

Réduisez l’expression $\frac{2 x^{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Étape 4.3.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Étape 4.3.6.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 4.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$