Pré-calcul Exemples

$y = \tan (x - \frac{π}{2})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \tan (y - \frac{π}{2})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\tan (y - \frac{π}{2}) = x$ .

$\tan (y - \frac{π}{2}) = x$

Étape 2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y - \frac{π}{2} = \arctan (x)$

Étape 2.3

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \arctan (x) + \frac{π}{2}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\tan (x - \frac{π}{2}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (x - \frac{π}{2})) = \arctan (\tan (x - \frac{π}{2})) + \frac{π}{2}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\arctan (x) + \frac{π}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan ((\arctan (x) + \frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(\arctan (x) + \frac{π}{2}) - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x) + \frac{π - π}{2})$

Étape 4.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x) + \frac{0}{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.4.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x) + 0)$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $\arctan (x)$ et $0$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x))$

Étape 4.3.5

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$