Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2}}{108} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{108} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 12$

$b = 6 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(6 \sqrt{3})}^{2}}}{12}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - {(6 \sqrt{3})}^{2}}}{12}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de produit à $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{144 - (6^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{12}$

Étape 6.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}}{12}$

Étape 6.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{12}$

Étape 6.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{12}$

Étape 6.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{12}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{12}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{1})}}{12}$

Étape 6.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3)}}{12}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- (36 \cdot 3)$ .

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Étape 6.1.5.1

Multipliez $36$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 108}}{12}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$\frac{\sqrt{144 - 108}}{12}$

Étape 6.1.6

Soustrayez $108$ de $144$ .

$\frac{\sqrt{36}}{12}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{12}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6}{12}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $12$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 (1)}{12}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 7