Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$ .

$x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les termes.

$- x^{3} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3} + 2 x$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $2 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 2 + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Étape 1.2.2.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{2}) - x (- 2)$ .

$- x (x^{2} - 2) + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Étape 1.2.2.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (x^{2} - 2) + u^{2} - 14 u + 24 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $u^{2} - 14 u + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 12, - 2$

Étape 1.2.2.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- x (x^{2} - 2) + (u - 12) (u - 2) = 0$

Étape 1.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 1.2.2.7

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ .

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Étape 1.2.2.7.1

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $- x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 1.2.2.7.2

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12) = 0$

Étape 1.2.2.7.3

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12)$ .

$(x^{2} - 2) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Étape 1.2.2.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} - 2) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Étape 1.2.2.9

Factorisez $- u + u^{2} - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 1.2.2.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} - 2) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.10

Factorisez.

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Étape 1.2.2.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 1.2.4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 1.2.4.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 3$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 \cdot 0^{2} + 2 (0) + 24$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Étape 2.2.5

Simplifiez ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Étape 2.2.5.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Étape 2.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Étape 2.2.5.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 - 14 \cdot 0 + 2 (0) + 24$

Étape 2.2.5.1.5

Multipliez $- 14$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 2 (0) + 24$

Étape 2.2.5.1.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 24$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 24$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 24$

Étape 2.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 24$

Étape 2.2.5.2.4

Additionnez $0$ et $24$ .

$y = 24$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 24)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 24)$

Étape 4