Pré-calcul Exemples

$f (x) = - 4 x^{2} + 2 x - 5$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - 4 x^{2} + 2 x - 5$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

$- 4 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Étape 1.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.3

Remplacez les valeurs $a = - 4$ , $b = 2$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot - 5$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Multipliez $16$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 80}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.3

Soustrayez $80$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.4

Réécrivez $- 76$ comme $- 1 (76)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (76)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.7

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 1.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{19})}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{- 8}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{- 8}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{19}}{4}$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot - 5$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $16$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 80}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $80$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $- 76$ comme $- 1 (76)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (76)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.7

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 1.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{19})}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{- 8}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{- 8}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{19}}{4}$

Étape 1.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{19}}{4}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot - 5$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $16$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 80}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $80$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $- 76$ comme $- 1 (76)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (76)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.7

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 1.2.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{19})}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{- 8}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{- 8}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{19}}{4}$

Étape 1.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{19}}{4}$

Étape 1.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{19}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{19}}{4}$

Étape 1.3

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - 4 {(0)}^{2} + 2 (0) - 5$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 \cdot 0^{2} + 2 (0) - 5$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 {(0)}^{2} + 2 (0) - 5$

Étape 2.2.3

Simplifiez $- 4 {(0)}^{2} + 2 (0) - 5$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 5$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$y = 0 + 2 (0) - 5$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 5$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 5$

Étape 2.2.3.2.2

Soustrayez $5$ de $0$ .

$y = - 5$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 5)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 5)$

Étape 4