Pré-calcul Exemples

$x^{3} - 3 x^{2} - 22 x + 24$

Étape 1

Définissez $x^{3} - 3 x^{2} - 22 x + 24$ égal à $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 22 x + 24 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{3} - 3 x^{2} - 22 x + 24$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 22 \cdot 1 + 24$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} - 22 \cdot 1 + 24$

Étape 2.1.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 - 22 \cdot 1 + 24$

Étape 2.1.1.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3 - 22 \cdot 1 + 24$

Étape 2.1.1.3.5

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 - 22 \cdot 1 + 24$

Étape 2.1.1.3.6

Multipliez $- 22$ par $1$ .

$- 2 - 22 + 24$

Étape 2.1.1.3.7

Soustrayez $22$ de $- 2$ .

$- 24 + 24$

Étape 2.1.1.3.8

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 22 x + 24}{x - 1}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} - 22 x + 24$ par $x - 1$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$22 x$

$24$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$24 x$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 24 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							-	$24 x$	+	$24$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 24 x + 24$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							+	$24 x$	-	$24$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							+	$24 x$	-	$24$
										$0$

Étape 2.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x - 24$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $x^{3} - 3 x^{2} - 22 x + 24$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 6, 4$

Étape 2.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x - 6) (x + 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x - 6) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 1, 6, - 4$

Étape 3