Pré-calcul Exemples

$x = 2 \sin (t)$ , $y = 2 \cos (t)$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = 2 \sin (t)$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $2 \sin (t) = x$ .

$2 \sin (t) = x$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 \sin (t) = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (t) = x$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\sin (t)$ par $1$ .

$\sin (t) = \frac{x}{2}$

Étape 4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du sinus.

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Étape 5

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Étape 6

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Étape 7

Simplifiez $2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ .

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Étape 7.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 7.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ est $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$y = 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Étape 7.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Étape 7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

Étape 7.3

Simplifiez les termes.

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Étape 7.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

Étape 7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})}$

Étape 7.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Étape 7.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

Étape 7.3.5

Multipliez $\frac{2 + x}{2}$ par $\frac{2 - x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

Étape 7.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

Étape 7.4

Réécrivez $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(2 + x) (2 - x)$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

Étape 7.4.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 7.4.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

Étape 7.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = 2 (\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

Étape 7.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.7.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

Étape 7.7.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$