Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$ est indéfinie.

$x = 1$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x - 1}$

Étape 6.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 6.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x - 1}$

Étape 6.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun à ${(x - 1)}^{2}$ et $x - 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 6.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1}{1}$

Étape 6.1.2.2.4

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1$

Étape 6.2

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 1$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 1$

Étape 8