Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3$

Étape 2

Comme il y a $4$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $4$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(4 - 2)$ .

Racines positives : $4$ , $2$ , or $0$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.5.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.6

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 1 x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.7

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.8

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Étape 4.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 (1 x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Étape 4.10

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} - 5 (- x) + 3$

Étape 4.11

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3$

Étape 5

Comme il y a $0$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $0$ racines négatives (règle des signes de Descartes).

Racines négatives : $0$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $4$ , $2$ , or $0$ , et le nombre possible de racines négatives est $0$ .

Racines positives : $4$ , $2$ , or $0$

Racines négatives : $0$