Pré-calcul Exemples

$\sin (4 θ) \cos (2 θ)$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $4 θ$ .

$\sin (2 (2 θ)) \cos (2 θ)$

Étape 2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 (2 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

Étape 3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

Étape 4

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 1) \cos (2 θ)$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$(4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Étape 6

Multipliez $\cos (θ)$ par $\cos^{2} (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $\cos^{2} (θ)$ .

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Étape 6.2

Multipliez $\cos^{2} (θ)$ par $\cos (θ)$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 \sin (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Étape 6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

Étape 8

Multipliez $2$ par $4$ .

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

Étape 9

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 10

Développez $(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.1.2

Multipliez $\sin (θ)$ par $\sin^{2} (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.2.1

Déplacez $\sin^{2} (θ)$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.1.2.2

Multipliez $\sin^{2} (θ)$ par $\sin (θ)$ .

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Étape 11.1.2.2.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.1.3

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.1.5

Multipliez $\sin (θ)$ par $\sin^{2} (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.5.1

Déplacez $\sin^{2} (θ)$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

Étape 11.1.5.2

Multipliez $\sin^{2} (θ)$ par $\sin (θ)$ .

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Étape 11.1.5.2.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

Étape 11.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) \cdot - 2$

Étape 11.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) \cdot - 2$

Étape 11.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Étape 11.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 11.2.1

Factorisez $4 \sin (θ) \cos (θ)$ à partir de $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 11.2.1.1

Factorisez $4 \sin (θ) \cos (θ)$ à partir de $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Étape 11.2.1.2

Factorisez $4 \sin (θ) \cos (θ)$ à partir de $- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Étape 11.2.1.3

Factorisez $4 \sin (θ) \cos (θ)$ à partir de $- 4 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Étape 11.2.1.4

Factorisez $4 \sin (θ) \cos (θ)$ à partir de $8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.2.1.5

Factorisez $4 \sin (θ) \cos (θ)$ à partir de $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ))$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.2.1.6

Factorisez $4 \sin (θ) \cos (θ)$ à partir de $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.2.1.7

Factorisez $4 \sin (θ) \cos (θ)$ à partir de $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ))$

Étape 11.2.2

Déplacez $2 \sin^{2} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Étape 11.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos^{2} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Étape 11.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin^{2} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Étape 11.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ))$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Étape 12

Réorganisez les termes.

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Étape 13

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Étape 14

Simplifiez en multipliant.

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Étape 14.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Étape 14.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) + 1)$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Étape 15

Multipliez $\sin (θ)$ par $\sin^{2} (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.1

Déplacez $\sin^{2} (θ)$ .

$4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Étape 15.2

Multipliez $\sin^{2} (θ)$ par $\sin (θ)$ .

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Étape 15.2.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Étape 15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Étape 15.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Étape 16

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 17

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1

Multipliez $\cos (θ)$ par $\cos^{2} (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.1.1

Déplacez $\cos^{2} (θ)$ .

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 17.1.2

Multipliez $\cos^{2} (θ)$ par $\cos (θ)$ .

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Étape 17.1.2.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 17.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin^{3} (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 17.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 17.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$