Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ est indéfinie.

$x = 0, x = 3$

Étape 2

Comme $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 81}{x^{2} - 3 x}$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}}{x^{2} - 3 x}$

Étape 6.1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} - 3 x}$

Étape 6.1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} - 3 x}$

Étape 6.1.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 3 x}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x \cdot x - 3 x}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x \cdot x + x \cdot - 3}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x (x - 3)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x (x - 3)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3)}{x}$

Étape 6.2

Développez $(x^{2} + 9) (x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3)}{x}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 (x + 3)}{x}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Étape 6.2.4

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $3$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Étape 6.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Étape 6.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 1} + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Étape 6.2.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Étape 6.2.8

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 27}{x}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$27$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	+	$0$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0$

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 6.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 6.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$0$

Étape 6.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} + 0$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$

Étape 6.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$

Étape 6.13

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$

Étape 6.14

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$

Étape 6.15

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							+	$9 x$	+	$0$

Étape 6.16

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9 x + 0$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							-	$9 x$	-	$0$

Étape 6.17

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							-	$9 x$	-	$0$
									+	$27$

Étape 6.18

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27}{x}$

Étape 6.19

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27 x - 81}{x^{2} - 3 x}$

Étape 6.20

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x^{2} + 3 x + 9$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x^{2} + 3 x + 9$

Étape 8