Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{4 x - 3}{3 x + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x - 3$ et $g (x) = 3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(3 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x + 1) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{(3 x + 1) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $3 x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (3 x + 1) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Associez les termes opposés dans $4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3$ .

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Étape 3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $4 (3 x)$ et $- 3 (4 x)$ .

$\frac{3 \cdot 4 x + 4 \cdot 1 - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $3 \cdot 4 x$ de $3 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 0 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $4 \cdot 1$ et $0$ .

$\frac{4 \cdot 1 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{4 + 9}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $4$ et $9$ .

$\frac{13}{{(3 x + 1)}^{2}}$