Pré-calcul Exemples

$- x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 28$

Étape 1

Complétez le carré pour $- x^{2} - 4 x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Étape 1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 2$ comme $- - 2$ .

$d = - - 2$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$d = 2$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.1.1.6

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Étape 1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 1.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$e = 4$

Étape 1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 4$

Étape 2

Remplacez $- x^{2} - 4 x$ par $- {(x + 2)}^{2} + 4$ dans l’équation $- x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 28$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 4 + 3 y^{2} + 6 y = 28$

Étape 3

Déplacez $4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$- {(x + 2)}^{2} + 3 y^{2} + 6 y = 28 - 4$

Étape 4

Complétez le carré pour $3 y^{2} + 6 y$ .

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{3}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{3}$

Étape 4.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Étape 4.4.2.1.3

Divisez $36$ par $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Étape 4.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e = 0 - 3$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $3 {(y + 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(y + 1)}^{2} - 3$

Étape 5

Remplacez $3 y^{2} + 6 y$ par $3 {(y + 1)}^{2} - 3$ dans l’équation $- x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 28$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} - 3 = 28 - 4$

Étape 6

Déplacez $- 3$ du côté droit de l’équation en ajoutant $3$ des deux côtés.

$- {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 28 - 4 + 3$

Étape 7

Simplifiez $28 - 4 + 3$ .

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Étape 7.1

Soustrayez $4$ de $28$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 24 + 3$

Étape 7.2

Additionnez $24$ et $3$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 27$

Étape 8

Divisez chaque terme par $27$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{{(x + 2)}^{2}}{27} + \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{27} = 1$