Pré-calcul Exemples

${(3 x + 4 y)}^{5}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(3 x + 4 y)}^{5}$ , $n = 5$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $6$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $3 x$ et $b$ $4 y$ dans l’expression.

$1 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(3 x)}^{5}$ par $1$ .

${(3 x)}^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$3^{5} x^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$243 x^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $4 y$ .

$243 x^{5} (4^{0} y^{0}) + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$243 \cdot 4^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$243 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.7

Multipliez $243$ par $1$ .

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.9

Multipliez $243$ par $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.11

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.12

Multipliez $81$ par $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.13

Simplifiez

$243 x^{5} + 405 x^{4} (4 y) + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$243 x^{5} + 405 \cdot 4 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.15

Multipliez $405$ par $4$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 10 (3^{3} x^{3}) {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.17

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 10 (27 x^{3}) {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.18

Multipliez $27$ par $10$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 x^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 x^{3} (4^{2} y^{2}) + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.20

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 \cdot 4^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.21

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 \cdot 16 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.22

Multipliez $270$ par $16$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 10 (3^{2} x^{2}) {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.24

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 10 (9 x^{2}) {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.25

Multipliez $9$ par $10$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.26

Appliquez la règle de produit à $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} (4^{3} y^{3}) + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.27

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 \cdot 4^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.28

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 \cdot 64 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.29

Multipliez $90$ par $64$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.30

Simplifiez

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 5 (3 x) {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.31

Multipliez $3$ par $5$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 x {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.32

Appliquez la règle de produit à $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 x (4^{4} y^{4}) + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.33

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 \cdot 4^{4} x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.34

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 \cdot 256 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.35

Multipliez $15$ par $256$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.36

Multipliez ${(3 x)}^{0}$ par $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.37

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 3^{0} x^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.38

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1 x^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.39

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + x^{0} {(4 y)}^{5}$

Étape 4.40

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1 {(4 y)}^{5}$

Étape 4.41

Multipliez ${(4 y)}^{5}$ par $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + {(4 y)}^{5}$

Étape 4.42

Appliquez la règle de produit à $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 4^{5} y^{5}$

Étape 4.43

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1024 y^{5}$