Pré-calcul Exemples

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y - 426 = 0$

Étape 1

Ajoutez $426$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Étape 2

Complétez le carré pour $6 x^{2} - 12 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 6$

$b = - 12$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (6)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 6}{6}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 6}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $6$ .

$e = 0 - \frac{144}{24}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $144$ par $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 6$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$e = 0 - 6$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$e = - 6$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ .

$6 {(x - 1)}^{2} - 6$

Étape 3

Remplacez $6 x^{2} - 12 x$ par $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ dans l’équation $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} - 6 + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Étape 4

Déplacez $- 6$ du côté droit de l’équation en ajoutant $6$ des deux côtés.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 y^{2} + 108 y = 426 + 6$

Étape 5

Complétez le carré pour $54 y^{2} + 108 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 54$

$b = 108$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{108}{2 \cdot 54}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $108$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $108$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 54$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 (54)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{54}{54}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $54$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{54}{54}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{108^{2}}{4 \cdot 54}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Élevez $108$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 54}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $54$ .

$e = 0 - \frac{11664}{216}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $11664$ par $216$ .

$e = 0 - 1 \cdot 54$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $54$ .

$e = 0 - 54$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $54$ de $0$ .

$e = - 54$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ .

$54 {(y + 1)}^{2} - 54$

Étape 6

Remplacez $54 y^{2} + 108 y$ par $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ dans l’équation $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} - 54 = 426 + 6$

Étape 7

Déplacez $- 54$ du côté droit de l’équation en ajoutant $54$ des deux côtés.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 426 + 6 + 54$

Étape 8

Simplifiez $426 + 6 + 54$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Additionnez $426$ et $6$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 432 + 54$

Étape 8.2

Additionnez $432$ et $54$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 486$

Étape 9

Divisez chaque terme par $486$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{6 {(x - 1)}^{2}}{486} + \frac{54 {(y + 1)}^{2}}{486} = \frac{486}{486}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{81} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

Étape 11

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 12

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 9$

$b = 3$

$k = - 1$

$h = 1$

Étape 13

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 14

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

Étape 15.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

Étape 15.1.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

Étape 15.1.4

Soustrayez $9$ de $81$ .

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

Étape 15.1.5

Réécrivez $72$ comme $6^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.5.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

Étape 15.1.5.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

Étape 15.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

Étape 15.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

Étape 15.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Étape 15.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Forme décimale :

$0.94280904 \dots$

Étape 17