Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + 46 x^{2} + 98 x - 147$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 2 x^{3} + 46 x^{2} + 98 x - 147$ égal à $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 46 x^{2} + 98 x - 147 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$2 x^{3} + 98 x + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 98 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 98 x + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $98 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (49) + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (49)$ .

$2 x (x^{2} + 49) + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 49) + {(x^{2})}^{2} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$2 x (x^{2} + 49) + u^{2} + 46 u - 147 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $u^{2} + 46 u - 147$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 147$ et dont la somme est $46$ .

$- 3, 49$

Étape 2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 x (x^{2} + 49) + (u - 3) (u + 49) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 49) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 49) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} + 49$ à partir de $2 x (x^{2} + 49) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 49)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 49$ à partir de $2 x (x^{2} + 49)$ .

$(x^{2} + 49) (2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 49) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 49$ à partir de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 49)$ .

$(x^{2} + 49) (2 x) + (x^{2} + 49) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $x^{2} + 49$ à partir de $(x^{2} + 49) (2 x) + (x^{2} + 49) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 49) (2 x + x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 49) (2 u + u^{2} - 3) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez $2 u + u^{2} - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 2.1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 49) ((u - 1) (u + 3)) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 49) ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 49) (x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} + 49$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} + 49$ égal à $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} + 49 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $49$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 49$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Réécrivez $- 49$ comme $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Étape 2.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (49)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Étape 2.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Étape 2.3.2.3.4

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Étape 2.3.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 7$

Étape 2.3.2.3.6

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 7 i$

Étape 2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 7 i$

Étape 2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 7 i$

Étape 2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 7 i, - 7 i$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 49) (x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 7 i, - 7 i, 1, - 3$

Étape 3