Pré-calcul Exemples

$f (x) = 10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$

Étape 1

Définissez $10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$ égal à $0$ .

$10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 3, \pm 0.3, \pm 1.5, \pm 0.6$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $- 0.2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $- 0.2$ dans le polynôme.

$10 {(- 0.2)}^{3} - 33 {(- 0.2)}^{2} + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $- 0.2$ à la puissance $3$ .

$10 \cdot - 0.008 - 33 {(- 0.2)}^{2} + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $10$ par $- 0.008$ .

$- 0.08 - 33 {(- 0.2)}^{2} + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Étape 2.1.1.3.4

Élevez $- 0.2$ à la puissance $2$ .

$- 0.08 - 33 \cdot 0.04 + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $- 33$ par $0.04$ .

$- 0.08 - 1.32 + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Étape 2.1.1.3.6

Soustrayez $1.32$ de $- 0.08$ .

$- 1.4 + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Étape 2.1.1.3.7

Multipliez $8$ par $- 0.2$ .

$- 1.4 - 1.6 + 3$

Étape 2.1.1.3.8

Soustrayez $1.6$ de $- 1.4$ .

$- 3 + 3$

Étape 2.1.1.3.9

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $- 0.2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $5 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3}{5 x + 1}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$ par $5 x + 1$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$5 x$

$1$

$10 x^{3}$

$33 x^{2}$

$8 x$

$3$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

					$2 x^{2}$
	$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			+	$10 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 35 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$35 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 35 x^{2} - 7 x$

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$3$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$3$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$
							+	$15 x$	+	$3$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $15 x + 3$

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$3$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$
							-	$15 x$	-	$3$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$3$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$
							-	$15 x$	-	$3$
										$0$

Étape 2.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 7 x + 3$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(5 x + 1) (2 x^{2} - 7 x + 3) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$(5 x + 1) (2 x^{2} - 7 x + 3) = 0$

Étape 2.1.2.1.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1$ plus $- 6$

$(5 x + 1) (2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3) = 0$

Étape 2.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(5 x + 1) (2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3) = 0$

Étape 2.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3) = 0$

Étape 2.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(5 x + 1) (x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Étape 2.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(5 x + 1) ((2 x - 1) (x - 3)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(5 x + 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $5 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $5 x + 1$ égal à $0$ .

$5 x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $5 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 1$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 1$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{5}$

Étape 2.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x + 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{5}, \frac{1}{2}, 3$

Étape 3