Pré-calcul Exemples

$x^{3} - 2 x^{2} - 80 x < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 2 x^{2} - 80 x = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x^{2} - 80 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 80 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 80 x = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 80 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 80 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 80 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 80$ .

$x (x^{2} - 2 x - 80) = 0$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 80$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 80$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 10, 8$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((x - 10) (x + 8)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 10) (x + 8) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 6

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 10) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 0, 10, - 8$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$0 < x < 10$

$x > 10$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 10)}^{3} - 2 {(- 10)}^{2} - 80 \cdot - 10 < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 400$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} - 80 \cdot - 4 < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $224$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

${(5)}^{3} - 2 {(5)}^{2} - 80 \cdot 5 < 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 325$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

${(12)}^{3} - 2 {(12)}^{2} - 80 \cdot 12 < 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $480$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < 0$ Faux

$0 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < 0$ Faux

$0 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 8$ ou $0 < x < 10$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 8) \cup (0, 10)$

Étape 12