Pré-calcul Exemples

$y^{2} (5 y + 3) (y - 6) > 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y^{2} = 0$

$5 y + 3 = 0$

$y - 6 = 0$

Étape 2

Définissez $y^{2}$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Définissez $y^{2}$ égal à $0$ .

$y^{2} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $y^{2} = 0$ pour $y$ .

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Étape 2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 0$

Étape 2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 3

Définissez $5 y + 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Définissez $5 y + 3$ égal à $0$ .

$5 y + 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $5 y + 3 = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$5 y = - 3$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 y = - 3$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 y = - 3$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 3}{5}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 3}{5}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 3}{5}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3}{5}$

Étape 4

Définissez $y - 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Définissez $y - 6$ égal à $0$ .

$y - 6 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y^{2} (5 y + 3) (y - 6) > 0$ vraie.

$y = 0, - \frac{3}{5}, 6$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < - \frac{3}{5}$

$- \frac{3}{5} < y < 0$

$0 < y < 6$

$y > 6$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < - \frac{3}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < - \frac{3}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 3$

Étape 7.1.2

Remplacez $y$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{2} (5 (- 3) + 3) ((- 3) - 6) > 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $972$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{5} < y < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{5} < y < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 0.3$

Étape 7.2.2

Remplacez $y$ par $- 0.3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 0.3)}^{2} (5 (- 0.3) + 3) ((- 0.3) - 6) > 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 0.8505$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < y < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < y < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 3$

Étape 7.3.2

Remplacez $y$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{2} (5 (3) + 3) ((3) - 6) > 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $- 486$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $y > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 8$

Étape 7.4.2

Remplacez $y$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{2} (5 (8) + 3) ((8) - 6) > 0$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $5504$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < - \frac{3}{5}$ Vrai

$- \frac{3}{5} < y < 0$ Faux

$0 < y < 6$ Faux

$y > 6$ Vrai

$y < - \frac{3}{5}$ Vrai

$- \frac{3}{5} < y < 0$ Faux

$0 < y < 6$ Faux

$y > 6$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$y < - \frac{3}{5}$ ou $y > 6$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - \frac{3}{5}) \cup (6, \infty)$

Étape 10