Pré-calcul Exemples

$6 x < \frac{36}{x + 5}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{36}{x + 5}$ des deux côtés de l’inégalité.

$6 x - \frac{36}{x + 5} < 0$

Étape 2

Simplifiez $6 x - \frac{36}{x + 5}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $6 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6 x (x + 5)}{x + 5} - \frac{36}{x + 5} < 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x (x + 5) - 36}{x + 5} < 0$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x (x + 5) - 36$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x (x + 5)$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) - 36}{x + 5} < 0$

Étape 2.3.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 36$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6}{x + 5} < 0$

Étape 2.3.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6$ .

$\frac{6 (x (x + 5) - 6)}{x + 5} < 0$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (x \cdot x + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Étape 2.3.4

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + 5 \cdot x - 6)}{x + 5} < 0$

Étape 2.3.5

Factorisez $x^{2} + 5 x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $5$ .

$- 1, 6$

Étape 2.3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 ((x - 1) (x + 6))}{x + 5} < 0$

$\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 6

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = - 6$

$x = - 5$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 1, - 6, - 5$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 5 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (- 8) < \frac{36}{(- 8) + 5}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 48$ est inférieur au côté droit $- 12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5.5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 5.5$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (- 5.5) < \frac{36}{(- 5.5) + 5}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 33$ n’est pas inférieur au côté droit $- 72$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (0) < \frac{36}{(0) + 5}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $7.2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (4) < \frac{36}{(4) + 5}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $24$ n’est pas inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 6$ ou $- 5 < x < 1$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 6) \cup (- 5, 1)$

Étape 14