Pré-calcul Exemples

$x^{3} < 2 x^{2} + 3 x$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} - 2 x^{2} < 3 x$

Étape 1.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x < 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ .

$x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Étape 3.2

Factorisez.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 3, - 1$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{3} < 2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4)$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 64$ est inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 0.5)}^{3} < 2 {(- 0.5)}^{2} + 3 (- 0.5)$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.125$ n’est pas inférieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{3} < 2 {(2)}^{2} + 3 (2)$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $8$ est inférieur au côté droit $14$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{3} < 2 {(6)}^{2} + 3 (6)$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $216$ n’est pas inférieur au côté droit $90$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$0 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$0 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $0 < x < 3$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 3)$

Étape 13