Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y + 136 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $136$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y = - 136$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $x^{2} + 16 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 16$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{8}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$d = 8$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $256$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$e = 0 - 64$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 8)}^{2} - 64$ .

${(x + 8)}^{2} - 64$

Étape 1.3

Remplacez $x^{2} + 16 x$ par ${(x + 8)}^{2} - 64$ dans l’équation $x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y = - 136$ .

${(x + 8)}^{2} - 64 + 9 y^{2} - 54 y = - 136$

Étape 1.4

Déplacez $- 64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

${(x + 8)}^{2} + 9 y^{2} - 54 y = - 136 + 64$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $9 y^{2} - 54 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 27}{9}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $9$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$e = 0 - 81$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y - 3)}^{2} - 81$

Étape 1.6

Remplacez $9 y^{2} - 54 y$ par $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ dans l’équation $x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y = - 136$ .

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} - 81 = - 136 + 64$

Étape 1.7

Déplacez $- 81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 136 + 64 + 81$

Étape 1.8

Simplifiez $- 136 + 64 + 81$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 136$ et $64$ .

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 72 + 81$

Étape 1.8.2

Additionnez $- 72$ et $81$ .

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 9$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $9$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x + 8)}^{2}}{9} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 8)}^{2}}{9} + {(y - 3)}^{2} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 3$

$b = 1$

$k = 3$

$h = - 8$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 8, 3)$

Étape 5