Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y - 4 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Étape 1.3

Remplacez $x^{2} - 4 x$ par ${(x - 2)}^{2} - 4$ dans l’équation $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - 4 y^{2} + 8 y = 4$

Étape 1.4

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

${(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 8 y = 4 + 4$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 4 y^{2} + 8 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{- 4}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 4$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $64$ par $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$e = 4$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$

Étape 1.6

Remplacez $- 4 y^{2} + 8 y$ par $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ dans l’équation $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} + 4 = 4 + 4$

Étape 1.7

Déplacez $4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4 + 4 - 4$

Étape 1.8

Simplifiez $4 + 4 - 4$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $4$ et $4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 8 - 4$

Étape 1.8.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $4$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{1} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, 1)$

Étape 5