Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Déterminez $f (- x)$ .

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Étape 2.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 (- x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Étape 2.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 (1 x^{2})$

Étape 2.2.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Étape 3

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

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Étape 3.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 3.2

Comme $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ , la fonction n’est pas paire.

La fonction n’est pas paire

Étape 4

Une fonction est impaire si $f (- x) = - f (x)$ .

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Étape 4.1

Déterminez $- f (x)$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ par $- 1$ .

$- f (x) = - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- f (x) = - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

Étape 4.2

Comme $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$ , la fonction n’est pas impaire.

La fonction n’est pas impaire

Étape 5

La fonction n’est ni paire ni impaire

Étape 6

Comme la fonction n’est pas impaire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Aucune symétrie par rapport à l’origine

Étape 7

Comme la fonction n’est pas paire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Aucune symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 8

Comme la fonction n’est ni impaire ni paire, il n’y a pas de symétrique par rapport à l’origine ni par rapport à l’ordonnée.

La fonction n’est pas symétrique

Étape 9