Pré-calcul Exemples

$f (x) = \log_{11} (\frac{x + 8}{x - 5})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{11} (\frac{x + 8}{x - 5})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x + 8}{x - 5} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 8 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 2.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 8$

$x = 5$

Étape 2.5

Consolidez les solutions.

$x = - 8, 5$

Étape 2.6

Déterminez le domaine de $\frac{x + 8}{x - 5}$ .

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Étape 2.6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 8}{x - 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 5 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < 5$

$x > 5$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 10) + 8}{(- 10) - 5} > 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $0.1\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 8}{(0) - 5} > 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 1.6$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(8) + 8}{(8) - 5} > 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $5.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 8$ ou $x > 5$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 8}{x - 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 5 = 0$

Étape 4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 8) \cup (5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 8, x > 5}$

Étape 6