Pré-calcul Exemples

$\sqrt{10 a - 1} = 1 + \sqrt{5 a - 1}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{10 a - 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10 a - 1}$ comme ${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(10 a - 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$10 a - 1 = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$ .

$10 a - 1 = (1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Étape 2.3.1.2

Développez $(1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 a - 1 = 1 (1 + \sqrt{5 a - 1}) + \sqrt{5 a - 1} (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 a - 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 a - 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$10 a - 1 = 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{5 a - 1}$ par $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{5 a - 1}$ par $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{5 a - 1}$ à la puissance $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1} \sqrt{5 a - 1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{5 a - 1}$ à la puissance $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1} {\sqrt{5 a - 1}}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5 a - 1}}^{2}$ comme $5 a - 1$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 a - 1}$ comme ${(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a - 1$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$10 a - 1 = 0 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $0$ et $\sqrt{5 a - 1}$ .

$10 a - 1 = \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Étape 2.3.1.3.4

Additionnez $\sqrt{5 a - 1}$ et $\sqrt{5 a - 1}$ .

$10 a - 1 = 2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Étape 3

Résolvez $2 \sqrt{5 a - 1}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a = 10 a - 1$ .

$2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a = 10 a - 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{5 a - 1}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $5 a$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{5 a - 1} = 10 a - 1 - 5 a$

Étape 3.2.2

Soustrayez $5 a$ de $10 a$ .

$2 \sqrt{5 a - 1} = 5 a - 1$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{5 a - 1})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 a - 1}$ comme ${(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(5 a - 1)}^{1} = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$4 (5 a - 1) = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 (5 a) + 4 \cdot - 1 = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez.

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Étape 5.2.1.6.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$20 a + 4 \cdot - 1 = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$20 a - 4 = {(5 a - 1)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(5 a - 1)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(5 a - 1)}^{2}$ comme $(5 a - 1) (5 a - 1)$ .

$20 a - 4 = (5 a - 1) (5 a - 1)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(5 a - 1) (5 a - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$20 a - 4 = 5 a (5 a - 1) - 1 (5 a - 1)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$20 a - 4 = 5 a (5 a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a - 1)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$20 a - 4 = 5 a (5 a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 a \cdot a + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $a$ .

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 (a \cdot a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 a^{2} + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 5 a - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 5 a + 1$

Étape 5.3.1.3.2

Soustrayez $5 a$ de $- 5 a$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 10 a + 1$

Étape 6

Résolvez $a$ .

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Étape 6.1

Comme $a$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$25 a^{2} - 10 a + 1 = 20 a - 4$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $a$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $20 a$ des deux côtés de l’équation.

$25 a^{2} - 10 a + 1 - 20 a = - 4$

Étape 6.2.2

Soustrayez $20 a$ de $- 10 a$ .

$25 a^{2} - 30 a + 1 = - 4$

Étape 6.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$25 a^{2} - 30 a + 1 + 4 = 0$

Étape 6.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$25 a^{2} - 30 a + 5 = 0$

Étape 6.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.5.1

Factorisez $5$ à partir de $25 a^{2} - 30 a + 5$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $25 a^{2}$ .

$5 (5 a^{2}) - 30 a + 5 = 0$

Étape 6.5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 30 a$ .

$5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a) + 5 = 0$

Étape 6.5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a) + 5 (1) = 0$

Étape 6.5.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a)$ .

$5 (5 a^{2} - 6 a) + 5 (1) = 0$

Étape 6.5.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (5 a^{2} - 6 a) + 5 (1)$ .

$5 (5 a^{2} - 6 a + 1) = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.5.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 6.5.2.1.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 a$ .

$5 (5 a^{2} - 6 a + 1) = 0$

Étape 6.5.2.1.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1$ plus $- 5$

$5 (5 a^{2} + (- 1 - 5) a + 1) = 0$

Étape 6.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 (5 a^{2} - 1 a - 5 a + 1) = 0$

Étape 6.5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.5.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$5 ((5 a^{2} - 1 a) - 5 a + 1) = 0$

Étape 6.5.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$5 (a (5 a - 1) - (5 a - 1)) = 0$

Étape 6.5.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 a - 1$ .

$5 ((5 a - 1) (a - 1)) = 0$

Étape 6.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$5 (5 a - 1) (a - 1) = 0$

Étape 6.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 a - 1 = 0$

$a - 1 = 0$

Étape 6.7

Définissez $5 a - 1$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 6.7.1

Définissez $5 a - 1$ égal à $0$ .

$5 a - 1 = 0$

Étape 6.7.2

Résolvez $5 a - 1 = 0$ pour $a$ .

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Étape 6.7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 a = 1$

Étape 6.7.2.2

Divisez chaque terme dans $5 a = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 a = 1$ par $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 6.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 6.7.2.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{1}{5}$

Étape 6.8

Définissez $a - 1$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 6.8.1

Définissez $a - 1$ égal à $0$ .

$a - 1 = 0$

Étape 6.8.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 1$

Étape 6.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 (5 a - 1) (a - 1) = 0$ vraie.

$a = \frac{1}{5}, 1$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$a = \frac{1}{5}, 1$

Forme décimale :

$a = 0.2, 1$