Pré-calcul Exemples

$10 \sqrt{3} = 20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ .

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ par $20$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ par $20$ .

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ par $1$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $20$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 \sqrt{3}$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 (\sqrt{3})}{20}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π}{3}$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $t$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.3

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.4.3

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{6}$

Étape 5.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{6}$

Étape 5.6.3

Additionnez $2 π$ et $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{5 π}{6}$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 7

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1

Simplifiez $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Étape 7.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 7.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 7.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 7.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 7.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Simplifiez $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 7.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.2.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Étape 7.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Étape 7.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = 2 (\frac{5}{3})$

Étape 7.2.1.3

Associez $2$ et $\frac{5}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$t = \frac{10}{3}$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{3}$

Étape 9

Résolvez $t$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 9.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.1.2

Associez les fractions.

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Étape 9.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 9.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 9.1.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3}$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $t$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 9.2.3

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.2.4.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.2.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.2.4.3

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 9.2.4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Étape 9.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Étape 9.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + π \cdot 3}{6}$

Étape 9.2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{6}$

Étape 9.2.6.3

Additionnez $4 π$ et $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{7 π}{6}$

Étape 9.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Étape 9.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 9.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.1.1

Simplifiez $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Étape 9.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Étape 9.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Étape 9.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.4.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Étape 9.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Étape 9.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Étape 9.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.4.2.1

Simplifiez $\frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$ .

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Étape 9.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Étape 9.4.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Étape 9.4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Étape 9.4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{7 π}{3}$

Étape 9.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.4.2.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $7 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Étape 9.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Étape 9.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = 2 (\frac{7}{3})$

Étape 9.4.2.1.3

Associez $2$ et $\frac{7}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 7}{3}$

Étape 9.4.2.1.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$t = \frac{14}{3}$

Étape 10

Déterminez la période de $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Étape 10.3

$\frac{π}{4}$ est d’environ $0.78539816$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Étape 10.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{4}{π}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Étape 10.5.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Étape 10.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 4$

Étape 10.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$8$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ est $8$ si bien que les valeurs se répètent tous les $8$ radians dans les deux sens.

$t = \frac{10}{3} + 8 n, \frac{14}{3} + 8 n$ , pour tout entier $n$