Pré-calcul Exemples

$r = 3 + 2 \sin (θ)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 2 \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [3] + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [3] + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $3$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$0 + 2 \cos (θ)$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $2 \cos (θ)$ .

$2 \cos (θ)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 \cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f'' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = 2 (- \sin (θ))$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (θ) = - 2 \sin (θ)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 \cos (θ) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 \cos (θ) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (θ) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{0}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cos (θ) = 0$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 8

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 8.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 8.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 9

La solution de l’équation est $θ = \frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $θ = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 11.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 12

$θ = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$θ = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $θ = \frac{π}{2}$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $θ$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2 \cdot 1$

Étape 13.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2$

Étape 13.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $θ = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 15.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 15.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 15.3

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 15.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Étape 15.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2$

Étape 16

$θ = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$θ = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local

Étape 17

Déterminez la valeur y quand $θ = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 17.1

Remplacez la variable $θ$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 17.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 17.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 17.2.1.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 \cdot - 1$

Étape 17.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 - 2$

Étape 17.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 1$

Étape 17.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 18

Ce sont les extrema locaux pour $f (θ) = 3 + 2 \sin (θ)$ .

$(\frac{π}{2}, 5)$ est un maximum local

$(\frac{3 π}{2}, 1)$ est un minimum local

Étape 19