Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y + 16 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $x^{2} - 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = - 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $64$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Étape 1.3

Remplacez $x^{2} - 8 x$ par ${(x - 4)}^{2} - 16$ dans l’équation $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} + 12 y = - 16$

Étape 1.4

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

${(x - 4)}^{2} - 3 y^{2} + 12 y = - 16 + 16$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 3 y^{2} + 12 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{- 3}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $- 3$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $144$ par $- 12$ .

$e = 0 - - 12$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$e = 0 + 12$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $12$ .

$e = 12$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ .

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$

Étape 1.6

Remplacez $- 3 y^{2} + 12 y$ par $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ dans l’équation $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} + 12 = - 16 + 16$

Étape 1.7

Déplacez $12$ du côté droit de l’équation en ajoutant $12$ des deux côtés.

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 16 + 16 - 12$

Étape 1.8

Simplifiez $- 16 + 16 - 12$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 16$ et $16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = 0 - 12$

Étape 1.8.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 12$

Étape 1.9

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$- {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 12$

Étape 1.10

Divisez chaque terme par $12$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 4$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(4, 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $4$ et $12$ .

$\sqrt{16}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Étape 5.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, 4)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(4, 4), (4, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, 6)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - 2)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(4, 6), (4, - 2)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

Étape 8.3.1.6

Additionnez $4$ et $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

Étape 8.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4}{2}$

Étape 8.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$2$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Étape 9.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 9.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 9.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 9.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 9.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{2}$

Étape 9.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Étape 11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Étape 11.2.3

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Étape 11.2.4

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 4}{3} + 2$

Étape 11.2.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Déplacez $- 4$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Étape 11.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Étape 12.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Étape 12.2.3

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Étape 12.2.4

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4$ .

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 2$

Étape 12.2.4.2

Associez $4$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(4, 2)$

Sommets : $(4, 4), (4, 0)$

Foyers : $(4, 6), (4, - 2)$

Excentricité : $2$

Paramètre focal : $\frac{3}{2}$

Asymptotes : $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Étape 15