Pré-calcul Exemples

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3}$

Étape 1

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $i$ .

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{8} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.7

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.8

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

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Étape 3.1.8.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{4 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{8} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.9

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.10

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.10.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\sqrt{3} i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.10.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} i$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.11

Associez.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.12

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.12.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 3.1.12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.12.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.13.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.13.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.13.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{1} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.13.3.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.3.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.14

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.16.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{(\sqrt{3} i)}^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.16.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} i$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.17.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{3}} i^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{27} i^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.3

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.1.17.3.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{9 (3)} i^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.5

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.7

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1 i}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.8

Associez les exposants.

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Étape 3.1.17.8.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- (3 \sqrt{3} i)}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 (\sqrt{3} i)}{2^{3}}$

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2^{3}}$

Étape 3.1.18

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}$

Étape 3.1.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 3 \sqrt{3} i - 9 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} i - 8 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $3 \sqrt{3} i$ de $3 \sqrt{3} i$ .

$\frac{0 - 8}{8}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Soustrayez $8$ de $0$ .

$\frac{- 8}{8}$

Étape 3.2.4.2

Divisez $- 8$ par $8$ .

$- 1$