Pré-calcul Exemples

$\ln (\frac{x - 1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}}{x^{2} - 1})$

Étape 3

Multipliez $\frac{x - 1}{x}$ par $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1})$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1^{2}})$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Étape 5

Réduisez l’expression $\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 1) (x - 1)})$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{1}{(x + 1) (x + 1)})$

Étape 9

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)})$

Étape 10

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}})$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}})$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$