Pré-calcul Exemples

$\frac{4 x - 2}{x + 3} \leq 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3

Associez $- 3$ et $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} + \frac{- 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (2 x - 1) - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 2 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 9}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

$\frac{x - 2 - 9}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.5.7

Soustrayez $9$ de $- 2$ .

$\frac{x - 11}{x + 3} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 11 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 11$

Étape 5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 11$

$x = - 3$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 11, - 3$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{x - 11}{x + 3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 11}{x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 11$

$x > 11$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 (- 6) - 2}{(- 6) + 3} \leq 3$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $8.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 11$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 11$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 (0) - 2}{(0) + 3} \leq 3$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 11$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 11$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 (14) - 2}{(14) + 3} \leq 3$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $3.17647058$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 11$ Vrai

$x > 11$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 11$ Vrai

$x > 11$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x \leq 11$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 3, 11]$

Étape 13