Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 5 x^{2} < x + 5$

Étape 1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} + 5 x^{2} - x < 5$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 5 x^{2} - x = 5$

Étape 3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} + 5 x^{2}) - x - 5 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x + 5) - (x + 5) = 0$

Étape 4.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 5$ .

$(x + 5) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 5) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 4.4

Factorisez.

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Étape 4.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 5) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 4.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 5, - 1, 1$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 8)}^{3} + 5 {(- 8)}^{2} < (- 8) + 5$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 192$ est inférieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{3} + 5 {(- 3)}^{2} < (- 3) + 5$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $18$ n’est pas inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} < (0) + 5$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{3} + 5 {(4)}^{2} < (4) + 5$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $144$ n’est pas inférieur au côté droit $9$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $- 1 < x < 1$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, 1)$

Étape 14