Pré-calcul Exemples

$x^{3} - 12 x^{2} < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{2} x - 12 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 12 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 12$ .

$x^{2} (x - 12) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 12 = 0$

Étape 4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Définissez $x - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 12$ égal à $0$ .

$x - 12 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x - 12) = 0$ vraie.

$x = 0, 12$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 56$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2} < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 40$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

${(14)}^{3} - 12 {(14)}^{2} < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $392$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 12$ Vrai

$x > 12$ Faux

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 12$ Vrai

$x > 12$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $0 < x < 12$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 0) \cup (0, 12)$

Étape 11