Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 < 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 80 u + 1024 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez $u^{2} - 80 u + 1024$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $1024$ et dont la somme est $- 80$ .

$- 64, - 16$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 64) (u - 16) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 64 = 0$

$u - 16 = 0$

Étape 4

Définissez $u - 64$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $u - 64$ égal à $0$ .

$u - 64 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 64$

Étape 5

Définissez $u - 16$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u - 16$ égal à $0$ .

$u - 16 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 16$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 64) (u - 16) = 0$ vraie.

$u = 64, 16$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 64$

${(x^{2})}^{1} = 16$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 64$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{64}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{64}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Étape 9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 8$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 16$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 16$

Étape 11.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 11.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 12

La solution à $x^{4} - 80 x^{2} + 1024 = 0$ est $x = 8, - 8, 4, - 4$ .

$x = 8, - 8, 4, - 4$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 10)}^{4} - 80 {(- 10)}^{2} + 1024 < 0$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $3024$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{4} - 80 {(- 6)}^{2} + 1024 < 0$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $- 560$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{4} - 80 {(0)}^{2} + 1024 < 0$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $1024$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{4} - 80 {(6)}^{2} + 1024 < 0$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $- 560$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 14.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 14.5.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

${(10)}^{4} - 80 {(10)}^{2} + 1024 < 0$

Étape 14.5.3

Le côté gauche $3024$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 14.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 4$ Faux

$4 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 4$ Faux

$4 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 8 < x < - 4$ ou $4 < x < 8$

Étape 16

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 8, - 4) \cup (4, 8)$

Étape 17