Pré-calcul Exemples

$\sin (3 x) = \frac{1}{2}$ , $[0, 2 π)$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$3 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$3 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$3 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 5.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

Étape 5.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (3 x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (3 x)$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 8.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Étape 8.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $2 π (0)$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Étape 8.1.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Étape 8.1.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Étape 8.1.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Étape 8.1.2.1.1.2.4

Divisez $2 π \cdot (0)$ par $1$ .

$\frac{π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Étape 8.1.2.1.2

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 8.1.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{π}{18} + 0 π$

Étape 8.1.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{π}{18} + 0$

Étape 8.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{18}$ et $0$ .

$\frac{π}{18}$

Étape 8.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}$

Étape 8.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Étape 8.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $2 π (0)$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Étape 8.2.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Étape 8.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Étape 8.2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Étape 8.2.2.1.1.2.4

Divisez $2 π \cdot (0)$ par $1$ .

$\frac{5 π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Étape 8.2.2.1.2

Multipliez $2 π (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{5 π}{18} + 0 π$

Étape 8.2.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{5 π}{18} + 0$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $\frac{5 π}{18}$ et $0$ .

$\frac{5 π}{18}$

Étape 8.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{5 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}$

Étape 8.3

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Étape 8.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Étape 8.3.2.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 8.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Étape 8.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Étape 8.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + 2 π \cdot 6}{18}$

Étape 8.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{π + 12 π}{18}$

Étape 8.3.2.5.2

Additionnez $π$ et $12 π$ .

$\frac{13 π}{18}$

Étape 8.3.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{13 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}$

Étape 8.4

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Étape 8.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Étape 8.4.2.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 8.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Étape 8.4.2.3.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Étape 8.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 6}{18}$

Étape 8.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{5 π + 12 π}{18}$

Étape 8.4.2.5.2

Additionnez $5 π$ et $12 π$ .

$\frac{17 π}{18}$

Étape 8.4.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{17 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}$

Étape 8.5

Insérez $2$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Insérez $2$ pour $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Étape 8.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Étape 8.5.2.2

Pour écrire $\frac{4 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 8.5.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.3.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Étape 8.5.2.3.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Étape 8.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + 4 π \cdot 6}{18}$

Étape 8.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.5.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{π + 24 π}{18}$

Étape 8.5.2.5.2

Additionnez $π$ et $24 π$ .

$\frac{25 π}{18}$

Étape 8.5.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{25 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}$

Étape 8.6

Insérez $2$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

Insérez $2$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Étape 8.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Étape 8.6.2.2

Pour écrire $\frac{4 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 8.6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.2.3.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Étape 8.6.2.3.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Étape 8.6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 6}{18}$

Étape 8.6.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.2.5.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{5 π + 24 π}{18}$

Étape 8.6.2.5.2

Additionnez $5 π$ et $24 π$ .

$\frac{29 π}{18}$

Étape 8.6.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{29 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}, \frac{29 π}{18}$