Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 80 = 0$

Étape 1

Ajoutez $80$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 80$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Étape 3

Remplacez $x^{2} + 2 x$ par ${(x + 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 80$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 - 9 y^{2} - 54 y = 80$

Étape 4

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} - 54 y = 80 + 1$

Étape 5

Complétez le carré pour $- 9 y^{2} - 54 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (- 9)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 27}{- 9}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $- 9$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 27$ .

$d = \frac{- 9 (3)}{- 9}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 5.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 81$ .

$e = 0 + 81$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $0$ et $81$ .

$e = 81$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ .

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$

Étape 6

Remplacez $- 9 y^{2} - 54 y$ par $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ dans l’équation $x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 80$ .

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} + 81 = 80 + 1$

Étape 7

Déplacez $81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 80 + 1 - 81$

Étape 8

Simplifiez $80 + 1 - 81$ .

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Étape 8.1

Additionnez $80$ et $1$ .

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 81 - 81$

Étape 8.2

Soustrayez $81$ de $81$ .

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 0$

Étape 9

Divisez chaque terme par $0$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{0} - \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{0} = \frac{0}{0}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(x + 1)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 1$