Pré-calcul Exemples

$f (x) = - x^{2} - 4 x + 1$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - x^{2} - 4 x + 1$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

$- x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 1.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$

Étape 1.2.4.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$

Étape 1.2.4.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$ comme $- (2 \pm \sqrt{5})$ .

$x = - (2 \pm \sqrt{5})$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$

Étape 1.2.5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$

Étape 1.2.5.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$ comme $- (2 \pm \sqrt{5})$ .

$x = - (2 \pm \sqrt{5})$

Étape 1.2.5.6

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - (2 + \sqrt{5})$

Étape 1.2.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot 2 - \sqrt{5}$

Étape 1.2.5.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = - 2 - \sqrt{5}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$

Étape 1.2.6.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$

Étape 1.2.6.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$ comme $- (2 \pm \sqrt{5})$ .

$x = - (2 \pm \sqrt{5})$

Étape 1.2.6.6

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - (2 - \sqrt{5})$

Étape 1.2.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot 2 + \sqrt{5}$

Étape 1.2.6.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Étape 1.2.6.9

Multipliez $- - \sqrt{5}$ .

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Étape 1.2.6.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = - 2 + 1 \sqrt{5}$

Étape 1.2.6.9.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Étape 1.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 - \sqrt{5}, - 2 + \sqrt{5}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2 - \sqrt{5}, 0), (- 2 + \sqrt{5}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Étape 2.2.3

Simplifiez $- {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 1$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 1$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$y = 1$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 1)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2 - \sqrt{5}, 0), (- 2 + \sqrt{5}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 1)$

Étape 4