Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 20 u + 64$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $64$ et dont la somme est $- 20$ .

$- 16, - 4$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 16) (x^{2} - 4) = 0$

Étape 1.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} - 4) = 0$

Étape 1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 4) = 0$

Étape 1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.8

Factorisez.

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Étape 1.8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 1.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 4, 4, - 2, 2$