Pré-calcul Exemples

$f (x) = \ln (20 - x - x^{2})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (20 - x - x^{2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$20 - x - x^{2} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$20 - x - x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $20 - x - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Déplacez $20$ .

$- x - x^{2} + 20 = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 20 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez $20$ comme $- 1 (- 20)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ .

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 4, - 5$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} > 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 36$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$20 - (0) - {(0)}^{2} > 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $20$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$20 - (6) - {(6)}^{2} > 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 22$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < 4$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 5, 4)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 5 < x < 4}$

Étape 4