Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$ est indéfinie.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{2 x + 3}$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Étape 5.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.6.1

Réécrivez $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ comme $- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Étape 5.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 3}$

Étape 5.2

Développez $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

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Étape 5.2.1

Inversez $4 x^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.2.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.2.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.2.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.2.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} - 6 x$

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$6$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x + 6$

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$
							-	$5$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- 2 x + 2 - \frac{5}{2 x + 3}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - 2 x + 2$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{3}{2}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - 2 x + 2$

Étape 7