Pré-calcul Exemples

$f (x) = 9 x^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 9 {(x + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 9 ((x + h) (x + h))$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 (x (x + h) + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 9 (2 h x) + 9 h^{2}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $2$ par $9$ .

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2}$ .

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $9 x^{2}$ .

$18 h x + 9 h^{2} + 9 x^{2}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $18 h x$ et $9 h^{2}$ .

$9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2}$

$f (x) = 9 x^{2}$

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2}$

$f (x) = 9 x^{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - (9 x^{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez $9 h^{2}$ comme ${(3 h)}^{2}$ .

$\frac{{(3 h)}^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 h)}^{2} + 18 h x + {(3 x)}^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 h x = 2 \cdot (3 h) \cdot (3 x)$

Étape 4.1.1.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(3 h)}^{2} + 2 \cdot (3 h) \cdot (3 x) + {(3 x)}^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 3 h$ et $b = 3 x$ .

$\frac{{(3 h + 3 x)}^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 h + 3 x)}^{2} - {(3 x)}^{2}}{h}$

Étape 4.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 h + 3 x$ et $b = 3 x$ .

$\frac{(3 h + 3 x + 3 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$\frac{(3 h + 6 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $3 h + 6 x$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 h$ .

$\frac{(3 h + 6 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Étape 4.1.4.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{(3 h + 3 (2 x)) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Étape 4.1.4.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 h + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h + 3 x - 3 x)}{h}$

Étape 4.1.5

Associez les termes opposés dans $3 h + 3 x - 3 x$ .

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Étape 4.1.5.1

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h + 0)}{h}$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $3 h$ et $0$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h)}{h}$

$\frac{3 (h + 2 x) \cdot 3 h}{h}$

Étape 4.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 (h + 2 x) h}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (h + 2 x) h}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $9 (h + 2 x)$ par $1$ .

$9 (h + 2 x)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 h + 9 (2 x)$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$9 h + 18 x$

Étape 4.2.3.2

Remettez dans l’ordre $9 h$ et $18 x$ .

$18 x + 9 h$

Étape 5