Pré-calcul Exemples

$y^{2} + 4 x - 16 y + 48 = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 16$ et $c = 4 x + 48$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x + 48))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (4 x + 48)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (4 x + 48)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 (4 x) - 4 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 4 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 4$ par $48$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.6

Soustrayez $192$ de $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 16 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.7

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x + 64$ .

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Étape 1.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.7.2

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.7.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (- x) + 16 (4)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.8

Réécrivez $16 (- x + 4)$ comme ${(2^{2})}^{2} (- x + 4)$ .

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Étape 1.3.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} (- x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{- x + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x + 4}}{2}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{- x + 4}}{2}$ .

$y = 8 \pm 2 \sqrt{- x + 4}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (4 x + 48)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (4 x + 48)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 (4 x) - 4 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 4 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $48$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6

Soustrayez $192$ de $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 16 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.7

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x + 64$ .

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Étape 1.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.7.2

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.7.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (- x) + 16 (4)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.8

Réécrivez $16 (- x + 4)$ comme ${(2^{2})}^{2} (- x + 4)$ .

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Étape 1.4.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} (- x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{- x + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x + 4}}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{- x + 4}}{2}$ .

$y = 8 \pm 2 \sqrt{- x + 4}$

Étape 1.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{- x + 4}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (4 x + 48)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (4 x + 48)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 (4 x) - 4 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 4 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $- 4$ par $48$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6

Soustrayez $192$ de $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 16 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.7

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x + 64$ .

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Étape 1.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.7.2

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.7.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (- x) + 16 (4)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.8

Réécrivez $16 (- x + 4)$ comme ${(2^{2})}^{2} (- x + 4)$ .

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Étape 1.5.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} (- x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{- x + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x + 4}}{2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{- x + 4}}{2}$ .

$y = 8 \pm 2 \sqrt{- x + 4}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{- x + 4}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 8 + 2 \sqrt{- x + 4}$

$y = 8 - 2 \sqrt{- x + 4}$

$y = 8 + 2 \sqrt{- x + 4}$

$y = 8 - 2 \sqrt{- x + 4}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

La forme normalisée est $8 + 2 \sqrt{- x + 4}, 8 - 2 \sqrt{- x + 4}$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{- x + 4}$

$y = 8 - 2 \sqrt{- x + 4}$

Étape 4