Pré-calcul Exemples

$y^{2} + 6 y - 8 x - 31 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$6 y - 8 x - 31 = - y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 x - 31 = - y^{2} - 6 y$

Étape 1.1.1.3

Ajoutez $31$ aux deux côtés de l’équation.

$- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 8$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 8$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (4)} + \frac{31}{- 8}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 4} + \frac{31}{- 8}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{31}{- 8}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{8}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = - \frac{31}{8}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

Étape 1.2.3.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

Étape 1.2.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 1.2.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

Étape 1.2.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Étape 1.2.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Étape 1.2.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{3}{4} (1 \cdot 4)$

Étape 1.2.3.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $1 \cdot 4$ .

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Étape 1.2.3.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Étape 1.2.3.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$d = 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (\frac{1}{8})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4}{8}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (1)}{8}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{16} \cdot 2)$

Étape 1.2.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 (8)} \cdot 2)$

Étape 1.2.4.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Étape 1.2.4.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{9}{8}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 31 - 9}{8}$

Étape 1.2.4.2.3

Soustrayez $9$ de $- 31$ .

$e = \frac{- 40}{8}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $- 40$ par $8$ .

$e = - 5$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y + 3)}^{2} - 5$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 5$

$k = - 3$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 5, - 3)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \cdot 2$

Étape 5.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, - 3)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 3$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - 7$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 5, - 3)$

Foyer : $(- 3, - 3)$

Axe de symétrie : $y = - 3$

Directrice : $x = - 7$

Étape 10