Pré-calcul Exemples

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez l’inverse de $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

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Étape 1.1

L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $a d - b c$ est le déterminant.

Étape 1.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 2 - (- 3 \cdot 4)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 - (- 3 \cdot 4)$

Étape 1.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 4)$ .

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Étape 1.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$10 - - 12$

Étape 1.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$10 + 12$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $10$ et $12$ .

$22$

Étape 1.3

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 1.4

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{22} [\begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{22}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{22} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (11)} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 (11)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \cdot - 2 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.3

Associez $\frac{1}{11}$ et $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{- 2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.5

Associez $\frac{1}{22}$ et $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 1.6.6

Associez $\frac{1}{22}$ et $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par l’inverse de $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.1

Multipliez $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

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Étape 3.1.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est $2 \times 2$ et la deuxième matrice est $2 \times 2$ .

Étape 3.1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 5 - \frac{2}{11} \cdot - 3 & \frac{1}{11} \cdot 4 - \frac{2}{11} \cdot 2 \\ \frac{3}{22} \cdot 5 + \frac{5}{22} \cdot - 3 & \frac{3}{22} \cdot 4 + \frac{5}{22} \cdot 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Étape 3.1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Étape 3.2

La multiplication de la matrice d’identité par toute matrice $A$ produit la matrice $A$ elle-même.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$ .

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Étape 3.3.1

Étape 3.3.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 10 - \frac{2}{11} \cdot - 16 \\ \frac{3}{22} \cdot 10 + \frac{5}{22} \cdot - 16 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$x = [\begin{array}{c} \frac{42}{11} \\ - \frac{25}{11} \end{array}]$