Pré-calcul Exemples

${(\frac{1}{3} x + y^{2})}^{3}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(\frac{1}{3} x + y^{2})}^{3}$ , $n = 3$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $4$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $\frac{1}{3} x$ et $b$ $y^{2}$ dans l’expression.

$1 {(\frac{1}{3} x)}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(\frac{1}{3} x)}^{3}$ par $1$ .

${(\frac{1}{3} x)}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

${(\frac{x}{3})}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3^{3}} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{x^{3}}{27} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{0}$ .

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Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} y^{2 \cdot 0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{x^{3}}{27} y^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} \cdot 1 + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $\frac{x^{3}}{27}$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{9} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.11.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3 (3)} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 3} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.12

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{1}$ .

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Étape 4.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} y^{2 \cdot 1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.12.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} y^{2} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.13

Associez $\frac{x^{2}}{3}$ et $y^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.14

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.15

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 \frac{x}{3} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.16

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.16.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 \frac{x}{3} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.16.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.17

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{2 \cdot 2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.17.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.18

Multipliez ${(\frac{1}{3} x)}^{0}$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.19

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(\frac{x}{3})}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.20

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{x^{0}}{3^{0}} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.21

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{1}{3^{0}} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.22

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{1}{1} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.23

Divisez $1$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + 1 {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.24

Multipliez ${(y^{2})}^{3}$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.25

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{3}$ .

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Étape 4.25.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + y^{2 \cdot 3}$

Étape 4.25.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + y^{6}$