Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} - 5 x^{2} \leq - 4 x + 21$

Étape 1

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x \leq 21$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 21$

Étape 3

Soustrayez $21$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21 = 0$

Étape 4

Factorisez $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 4.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 7, \pm 3.5$

Étape 4.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$2 \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Étape 4.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 27 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $27$ .

$54 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Étape 4.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$54 - 5 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 21$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$54 - 45 + 4 \cdot 3 - 21$

Étape 4.3.6

Soustrayez $45$ de $54$ .

$9 + 4 \cdot 3 - 21$

Étape 4.3.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$9 + 12 - 21$

Étape 4.3.8

Additionnez $9$ et $12$ .

$21 - 21$

Étape 4.3.9

Soustrayez $21$ de $21$ .

$0$

Étape 4.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21}{x - 3}$

Étape 4.5

Divisez $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ par $x - 3$ .

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Étape 4.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$21$

Étape 4.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$

Étape 4.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 4.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 4.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 4.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Étape 4.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Étape 4.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 4.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Étape 4.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$

Étape 4.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Étape 4.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Étape 4.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							+	$7 x$	-	$21$

Étape 4.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x - 21$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$

Étape 4.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$
										$0$

Étape 4.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + x + 7$

Étape 4.6

Écrivez $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

Définissez $2 x^{2} + x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 x^{2} + x + 7$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 x^{2} + x + 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 1$ et $c = 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 7)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.1.3

Soustrayez $56$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 55$ comme $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (55)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

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Étape 7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.4.1.3

Soustrayez $56$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.4.1.4

Réécrivez $- 55$ comme $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (55)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Étape 7.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Étape 7.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Étape 7.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{55})}{4}$

Étape 7.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{55})}{4}$

Étape 7.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}$

Étape 7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

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Étape 7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.5.1.3

Soustrayez $56$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.5.1.4

Réécrivez $- 55$ comme $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (55)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Étape 7.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Étape 7.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Étape 7.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{55})}{4}$

Étape 7.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{55})}{4}$

Étape 7.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$ vraie.

$x = 3, - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 3$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 3]$

Étape 11