Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - x - 20 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $9$ .

$4, 5$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 4) (x + 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 4, - 5$

Étape 7

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 9

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 10

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 5, - 4$

Étape 12

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 4, - 5$

$x = 5, - 4$

Étape 13

Consolidez les solutions.

$x = - 4, - 5, 5, - 4$

Étape 14

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ .

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Étape 14.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $x$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 14.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 14.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Étape 14.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 14.2.3

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.2.3.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 14.2.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 14.2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 14.2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 14.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 5, - 4$

Étape 14.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 15

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Étape 16

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 16.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 16.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 20} \geq 0$

Étape 16.1.3

Le côté gauche $0.\overline{230769}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 16.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4.5$

Étape 16.2.2

Remplacez $x$ par $- 4.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - (- 4.5) - 20} \geq 0$

Étape 16.2.3

Le côté gauche $- 0.05263157$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 16.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 16.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - (0) - 20} \geq 0$

Étape 16.3.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 16.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 16.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(8)}^{2} + 9 (8) + 20}{{(8)}^{2} - (8) - 20} \geq 0$

Étape 16.4.3

Le côté gauche $4.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 16.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

Étape 17

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 5$ ou $x > 5$

Étape 18

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 5] \cup (5, \infty)$

Étape 19