Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 4$

Étape 7

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 16$

Étape 8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 9

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 2, - 4$

$x = 4, - 4$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = 2, - 4, 4, - 4$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 16 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 16$

Étape 13.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 13.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 13.2.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 13.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 13.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 13.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 13.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8}{{(- 6)}^{2} - 16} < 0$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $0.8$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8}{{(0)}^{2} - 16} < 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $0.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(3)}^{2} + 2 (3) - 8}{{(3)}^{2} - 16} < 0$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 15.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} + 2 (6) - 8}{{(6)}^{2} - 16} < 0$

Étape 15.4.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x < 4$

Étape 17

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(2, 4)$

Étape 18