Pré-calcul Exemples

$\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$49 x^{2} - 81 = 0$

$x^{2} - 64 = 0$

Étape 2

Ajoutez $81$ aux deux côtés de l’équation.

$49 x^{2} = 81$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $49 x^{2} = 81$ par $49$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $49 x^{2} = 81$ par $49$ .

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $49$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{81}{49}$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{81}{49}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{81}{49}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{81}{49}}$ comme $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{49}}$

Étape 5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{49}}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{7^{2}}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{9}{7}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{9}{7}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{9}{7}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

Étape 7

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 64$

Étape 8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{64}$

Étape 9

Simplifiez $\pm \sqrt{64}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Étape 9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 8$

Étape 10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

$x = 8, - 8$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}, 8, - 8$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 64 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 64$

Étape 13.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{64}$

Étape 13.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{64}$ .

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Étape 13.2.3.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Étape 13.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 8$

Étape 13.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 13.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 13.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$

$\frac{9}{7} < x < 8$

$x > 8$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{49 {(- 10)}^{2} - 81}{{(- 10)}^{2} - 64} \leq 0$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $133.86\overline{1}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{49 {(- 5)}^{2} - 81}{{(- 5)}^{2} - 64} \leq 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $- 29.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{49 {(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{2} - 64} \leq 0$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $1.265625$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{9}{7} < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{9}{7} < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 15.4.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{49 {(5)}^{2} - 81}{{(5)}^{2} - 64} \leq 0$

Étape 15.4.3

Le côté gauche $- 29.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 15.5.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{49 {(10)}^{2} - 81}{{(10)}^{2} - 64} \leq 0$

Étape 15.5.3

Le côté gauche $133.86\overline{1}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ Vrai

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ Faux

$\frac{9}{7} < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ Vrai

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ Faux

$\frac{9}{7} < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 8 < x \leq - \frac{9}{7}$ ou $\frac{9}{7} \leq x < 8$

Étape 17

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 8, - \frac{9}{7}] \cup [\frac{9}{7}, 8)$

Étape 18